Степень
Степенью называется выражение вида: , где:
– основание степени;
– показатель степени.
Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}
Определем понятие степени, показатель которой – натуральное число (т.е. целое и положительное).
- По определению:
.
- Возвести число в квадрат – значит умножить его само на себя:
- Возвести число в куб – значит умножить его само на себя три раза:
.
Возвести число в натуральную степень – значит умножить число само на себя
раз:
Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}
Если показателем степени является целое положительное число:
, n > 0
Возведение в нулевую степень:
, a ≠ 0
Если показателем степени является целое отрицательное число:
, a ≠ 0
Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то
Пример 1.
Степень с рациональным показателем
Если:
- a > 0;
- n – натуральное число;
- m – целое число;
Тогда:
Пример 2.
Свойства степеней
Произведение степеней | ![]() |
Деление степеней | ![]() |
Возведение степени в степень | ![]() |
Пример 3.
Корень
Арифметический квадратный корень
Уравнение имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.
Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функции
и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.
Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.
Арифметический квадратный корень – это неотрицательное число, квадрат которого равен
, a ≥ 0. При a < 0 – выражение
не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу
.
Например, . А решения уравнения
соответственно
и
Кубический корень
Кубический корень из числа – это число, куб которого равен
. Кубический корень определен для всех
. Его можно извлечь из любого числа:
.
Корень n-ой степени
Корень -й степени из числа
– это число,
-я степень которого равна
.
Если – чётно.
- Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.
- Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения
называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается
Если – нечётно.
- Тогда уравнение
имеет единственный корень при любом
.
Пример 4.
Таблица корней
Корень третьей степени (3) |
|
Корень седьмой степени (7) |
|
Корень четвертой степени (4) |
|
Корень восьмой степени (8) |
|
Корень пятой степени (5) |
|
Корень девятой степени (9) |
|
Корень шестой степени (6) |
|
Корень десятой степени (10) |
|