Корни и степени

Grandars Математика Алгебра

Степень

Степенью называется выражение вида: \(a^c\), где:

  • \(a\) – основание степени;
  • \(c\) – показатель степени.

Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}

Определем понятие степени, показатель которой – натуральное число (т.е. целое и положительное).

  1. По определению: \(a^1 = a\).
  2. Возвести число в квадрат – значит умножить его само на себя: \(a^2 = a \cdot a\)
  3. Возвести число в куб – значит умножить его само на себя три раза: \(a^3 = a \cdot a \cdot a\).

Возвести число в натуральную степень \(n\) – значит умножить число само на себя \(n\) раз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

\(a^n = a^n\), n > 0

Возведение в нулевую степень:

\(a^0 = 1\), a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Прим: выражение \(0^n\) не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то \(0^n = 0\)

Пример 1.

Степень с рациональным показателем

Если:

  • a > 0;
  • n – натуральное число;
  • m – целое число;

Тогда:

Пример 2.

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Пример 3.

Корень

Арифметический квадратный корень

Уравнение \(x^2 = 4\) имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.

Рассмотрим уравнение \(x^2 = 3\). Нарисуем график функции \(y = x^2\) и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень \(\sqrt{a}\) – это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\), a ≥ 0. При a < 0 – выражение \(\sqrt{a}\) не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу \(a\).

Корень из квадрата

Например, \(\sqrt{4} = 2\). А решения уравнения \(x^2 =3\) соответственно \(x =\sqrt{3}\) и \(x = -\sqrt{3}\)

Кубический корень

Кубический корень из числа \(a\) – это число, куб которого равен \(a\). Кубический корень определен для всех \(a\). Его можно извлечь из любого числа: \(\sqrt[3]{-8} = -2\).

Корень n-ой степени

Корень \(n\)-й степени из числа \(a\) – это число, \(n\)-я степень которого равна \(a\).

Если \(n\) – чётно.

  • Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.
  • Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения \(x^n = a\) называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается \(\sqrt[n]{a}\)

Если \(n\) – нечётно.

  • Тогда уравнение \(x^n = a\) имеет единственный корень при любом \(a\).

Пример 4.

Таблица корней

Корень третьей степени (3)

\(\sqrt[3]{8} = 2\)

\(\sqrt[3]{27} = 3\)

\(\sqrt[3]{64} = 4\)

\(\sqrt[3]{125} = 5\)

Корень седьмой степени (7)

\(\sqrt[7]{128} = 2\)

\(\sqrt[7]{2187} = 3\)

\(\sqrt[7]{16384} = 4\)

\(\sqrt[7]{78125} = 5\)

Корень четвертой степени (4)

\(\sqrt[4]{16} = 2\)

\(\sqrt[4]{81} = 3\)

\(\sqrt[4]{256} = 4\)

\(\sqrt[4]{625} = 5\)

Корень восьмой степени (8)

\(\sqrt[8]{256} = 2\)

\(\sqrt[8]{6561} = 3\)

\(\sqrt[8]{65536} = 4\)

\(\sqrt[8]{390625} = 5\)

Корень пятой степени (5)

\(\sqrt[5]{32} = 2\)

\(\sqrt[5]{243} = 3\)

\(\sqrt[5]{1024} = 4\)

\(\sqrt[5]{3125} = 5\)

Корень девятой степени (9)

\(\sqrt[9]{512} = 2\)

\(\sqrt[9]{19683} = 3\)

\(\sqrt[9]{262144} = 4\)

\(\sqrt[9]{1953125} = 5\)

Корень шестой степени (6)

\(\sqrt[6]{64} = 2\)

\(\sqrt[6]{729} = 3\)

\(\sqrt[6]{4096} = 4\)

\(\sqrt[6]{15625} = 5\)

Корень десятой степени (10)

\(\sqrt[10]{1024} = 2\)

\(\sqrt[10]{59049} = 3\)

\(\sqrt[10]{1048576} = 4\)

\(\sqrt[10]{9765625} = 5\)

0.253 сек.