Корни и степени

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

\(a^n = a^n\), n > 0

Возведение в нулевую степень:

\(a^0 = 1\), a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Прим: выражение \(0^n\) не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то \(0^n = 0\)

Пример 1.

Степень с рациональным показателем

Если:

• a > 0;
• n – натуральное число;
• m – целое число;

Тогда:

Пример 2.

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Пример 3.

Корень

Арифметический квадратный корень

Уравнение \(x^2 = 4\) имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.

Рассмотрим уравнение \(x^2 = 3\). Нарисуем график функции \(y = x^2\) и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень \(\sqrt{a}\) – это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\), a ≥ 0. При a < 0 – выражение \(\sqrt{a}\) не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу \(a\).

Например, \(\sqrt{4} = 2\). А решения уравнения \(x^2 =3\) соответственно \(x =\sqrt{3}\) и \(x = -\sqrt{3}\)

Кубический корень

Кубический корень из числа \(a\) – это число, куб которого равен \(a\). Кубический корень определен для всех \(a\). Его можно извлечь из любого числа: \(\sqrt[3]{-8} = -2\).

Корень n-ой степени

Корень \(n\)-й степени из числа \(a\) – это число, \(n\)-я степень которого равна \(a\).

Если \(n\) – чётно.

• Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.
• Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения \(x^n = a\) называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается \(\sqrt[n]{a}\)

Если \(n\) – нечётно.

• Тогда уравнение \(x^n = a\) имеет единственный корень при любом \(a\).

Пример 4.

Таблица корней

• Арифметика
  • Свойства арифметических действий
• Алгебра
  • Формулы сокращенного умножения
  • Геометрическая прогрессия
  • Корни и степени. Свойства корней n-ой степени. Таблица корней
  • Арифметическая прогрессия. Формула суммы арифметической прогрессии
  • Модуль числа, его определение и геометрический смысл. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа
  • Логарифм и его свойства. Примеры решения логарифмов
  • Показательные уравнения: примеры и решения
  • Квадратное уравнение и решение полных и неполных квадратных управнений
  • Биквадратное уравнение и методы и примеры его решения
• Математические методы в экономике
  • Экономико-математические методы и модели анализа
• Эконометрика
  • Метод наименьших квадратов
• Тригонометрия
  • Тригонометрический круг
  • Тригонометрические формулы и тригонометрические функции
  • Решения простейших тригонометрических уравнений
  • Решение уравнений cosx= 0, 1, -1.
• Линейная алгебра
  • N-мерные матрицы. Умножение и сложение N-мерных матриц
  • Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса
  • Система линейных уравнений и её виды. Матричная форма записи системы линейных уравнений
  • Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов
  • Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Алгоритм нахождения обратной матрицы
  • Определитель матрицы. Метод Крамера
  • Математические модели задач линейного программирования
  • Симплексный метод решения задач линейного программирования
  • Транспортная задача. Математическая модель [ч.1]
  • Транспортная задача. Опорное решение [ч.2]. Метод северо-западного угла
  • Множество и операции над множествами
  • Производная функции. Правила дифференцирования и таблица производных