Корни и степени

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

, n > 0

Возведение в нулевую степень:

, a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то

Пример 1.

Степень с рациональным показателем

Если:

• a > 0;
• n – натуральное число;
• m – целое число;

Тогда:

Пример 2.

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Пример 3.

Корень

Арифметический квадратный корень

Уравнение имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.

Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функции и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень – это неотрицательное число, квадрат которого равен , a ≥ 0. При a < 0 – выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу .

Например, . А решения уравнения соответственно и

Кубический корень

Кубический корень из числа – это число, куб которого равен . Кубический корень определен для всех . Его можно извлечь из любого числа: .

Корень n-ой степени

Корень -й степени из числа – это число, -я степень которого равна .

Если – чётно.

• Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.
• Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается

Если – нечётно.

• Тогда уравнение имеет единственный корень при любом .

Пример 4.

Таблица корней