Определитель матрицы. Метод Крамера

В этих формулах - алгебраические дополнения элементов а_ij матрицы А, где M_ij – миноры элементов а_ij матрицы А.

Минором M_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка А называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент a_ij/

Правило Саррюса

Дописывание двух первых строк или столбцов.

В этом случае считаем так: a11*а22*а33 + а12*а23*31+а13*а21*а32 – а13*а22*а31 – а11*а23*а32 – а12*а21*а33

Вычислить определитель двумя способами: с помощью разложения по первой строке и по правилу треугольника:

Решение:

Свойства определителей

Свойство (1)
Определитель не изменится, если все строки заменить соответствующими столбцами и наоборот.

Свойство (2)
При перестановке двух каких-либо строк или столбцов местами определитель изменяет знак.

Свойство (3)
Определитель равен нулю, если он имеет две равные строки (столбца).

Свойство (4)
Множитель, общий для всех элементов строки или столбца, можно выносить за знак определителя.

Свойство (5)
Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, то определитель не изменится.

Следствие из свойств 4 и 5: Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.

Свойство (6)
Сумма произведений элементов какой-либо строки или столбца на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки или столбца равна нулю.

Вычислить определитель, используя свойства:

Решение:

1. Третью строку умножим на подходящие множители и прибавим к остальным:

получим:

Метод Крамера

Решение систем уравнений

Пусть имеется система уравнений:

Обозначим через Δ определитель матрицы системы и через Δ_j определитель, который получается из определителя Δ заметой j-го столбца столбцом правых частей системы ( j=1,2,...n).

Теорема 1

Если определитель матрицы отличен от нуля, т.е. Δ ≠0, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле:

Нахождение обратной матрицы

Путь имеется матрица:

Матрица:

называется присоединенной для матрицы А. Здесь А_ij алгебраическое дополнение элементов а_ij матрицы А.

• Арифметика
  • Свойства арифметических действий
• Алгебра
  • Формулы сокращенного умножения
  • Геометрическая прогрессия
  • Корни и степени. Свойства корней n-ой степени. Таблица корней
  • Арифметическая прогрессия. Формула суммы арифметической прогрессии
  • Модуль числа, его определение и геометрический смысл. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа
  • Логарифм и его свойства. Примеры решения логарифмов
  • Показательные уравнения: примеры и решения
  • Квадратное уравнение и решение полных и неполных квадратных управнений
  • Биквадратное уравнение и методы и примеры его решения
• Математические методы в экономике
  • Экономико-математические методы и модели анализа
• Эконометрика
  • Метод наименьших квадратов
• Тригонометрия
  • Тригонометрический круг
  • Тригонометрические формулы и тригонометрические функции
  • Решения простейших тригонометрических уравнений
  • Решение уравнений cosx= 0, 1, -1.
• Линейная алгебра
  • N-мерные матрицы. Умножение и сложение N-мерных матриц
  • Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса
  • Система линейных уравнений и её виды. Матричная форма записи системы линейных уравнений
  • Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов
  • Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Алгоритм нахождения обратной матрицы
  • Определитель матрицы. Метод Крамера
  • Математические модели задач линейного программирования
  • Симплексный метод решения задач линейного программирования
  • Транспортная задача. Математическая модель [ч.1]
  • Транспортная задача. Опорное решение [ч.2]. Метод северо-западного угла
  • Множество и операции над множествами
  • Производная функции. Правила дифференцирования и таблица производных