Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка
Матрица А-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А-1 = Е, где Е – единичная матрица n-го порядка.
Единичная матрица – такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, – единицы, а остальные – нули, например:
Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.
Теорема условия существования обратной матрицы
Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Матрица А = (А1, А2,...Аn) называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы \(r\). Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
- Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
- Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
- Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
- Записать обратную матрицу А-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.
Для матрицы А найти обратную матрицу А-1
Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.
Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А-1.
В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.
Ответ: 
Решение матричных уравнений
Матричные уравнения могут иметь вид:
АХ = В, ХА = В, АХВ = С,
где А,В,С – задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.
Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.
Например, чтобы найти матрицу \(X\) из уравнения \(AX=B\), необходимо умножить это уравнение на \(A^{-1}\) слева.
Тогда:
Следовательно, чтобы найти решение \(X\) уравнения \(AX=B\), нужно найти обратную матрицу\(A^{-1}\) и умножить ее на матрицу \(B\), стоящие в правой части уравнения.
Аналогично решаются другие уравнения.
Решить уравнение АХ = В, если 
Решение: Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)
0.045 сек.