Множество чисел пронумерованное с помощью натуральных числе и расставленных в порядке возрастания их номеров называется числовой последовательностью.
Общая характеристика вектора
N-мерным вектором называется последовательность
чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.
Вектор записывается в виде строки или столбца:
- нулевой вектор —
- единичные векторы специального вида —
Условие равенства векторов
Два вектора и
равны между собой, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие координаты равны т.е.:
Пример: векторы и
— равны, потому что
Коллинеарные (параллельные) векторы
Векторы и
называются коллинеарными (параллельными), если A=λ*B, ai=λ*bi, i=1,2,...,n.
λ — некоторое число:
- если λ>0, то направления векторов совпадают
- если λ<0, то направления противоположны
Пример: векторы и
параллельны и их направления совпадают:
λ=2
Действия над векторами
Умножение вектора на числоЛюбой n-мерный вектор А можно умножить на любое число λ, при этом все его координаты умножаются на это число:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)
Пример: A=(1,2,3); λ=2; A*λ=(1*2,2*2,3*2)=(2,4,6)
Сложение векторовДва вектора одинаковой размерности можно сложить, при этом их соответствующие координаты складываются:
- А + В = В + А
- (А + В) + С = А+(В + С)
- λ(А + В) = λА + λВ
- (λ+ μ)А = λА + μ А
- λ(μ А) = (λμ)А
Пример:
Скалярным произведением векторов и
называется величина, вычисляемая по формуле:
- λ(A*B)=λ*A*B
Пример:
Если модуль вектора равен 1 то он называется единичным и обозначается через
Пример:
|a|=√(a12+a22+a32)
Мини-заключение:
- Умножение вектора на число: A=(1,2,3); λ=2; A*λ=(1*2,2*2,3*2)=(2,4,6)
- Сложение векторов: A=(1,2,3) B=(1,2,3); A+B=(1+1, 2+2, 3+3)
- Скалярное произведение векторов:
- Модуль вектора: a=(a1,a2,a3); |a|=√(a12+a22+a32)