N-мерные матрицы

Матрицы и действия над ними

Общая характеристика матрицы

Матрицей размерности m*n называется таблица чисел (элементов), содержащая m строк и n столбцов.

В алгебраических выражениях часто используются специального вида матрицы:

• Θ – нулевая
• D – диагональная
• E – единичная

Если в матрице А переставить соответствующие строки и столбцы местами, то получиться матрица А^т , которую называют транспонированной матрицей А.

Пример:

Если число строк и столбцов матрицы совпадает и равно n, то матрица называется квадратной n-го порядка.

Две матрицы А и В одинаковой размерности равны, если все соответствующие элементы матриц равны.

Действия над матрицами

Умножение матрицы на число

Любую матрицу можно умножить на любое число, при этом все элементы матрицы умножаются на это число.

Сложение матриц

Две матрицы А и В одинаковой размерности можно сложить, при этом все соответветствующие элементы матриц складываются.

Свойства линейных операций

• \(A + B = B + A\)
• \((A + B) + C = A + (B + C)\)
• \((A + B)m = m*A + m*B\)
• \((m + n)A = m*A + n*A\)
• \(n(m*A) =(m*n)A\)

Умножение матриц

Две матрицы можно умножить, если число строк второй матрицы равно числу столбцов первой матрицы. При умножении матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.

Элементы матрицы произведения С = АВ находятся по формуле:

где l – число строк второй и число столбцов первой матриц.

Свойства умножения матриц:

• \((AB)C=A(BC)\)
• \((A+B)C=AC+ BC\)
• \(A*E=E*A=A\) (где Е – единичная матрица)
• \((AB)^t=B^t*A^t\)

Пример 9.1 Произведите умножение матриц

Всегда: строки первой матрицы умножаются на столбцы второй матрицы, то есть никогда не будет ситуации когда необходимо будет умножать столбцы первой на строки второй!

Важно: матрицы при умножении нельзя менять местами!!! – результат умножения будет другим

Логика умножения матриц:

Представим что матрица A=(a_yx) является результатом умножения.

Чтобы определить значение элемента a_yx (а всего таких элементов =x*y, но в нашем примере a₁₁) необходимо:

1. Определить в какой строке находится элемент a_yx в первой матрице – первая строка (y=1)
2. Определить в каком столбце находится элемент a_yx во второй матрице – первый столбец (x=1)
3. Умножить каждый коэффициент в первой строке первой матрицы (y = 1) на соответствующий коэффициент первого столбца (x=1) второй матрицы. (=1*1+2*1+3*1=6)
4. Аналогично находим значения элемента a₁₂ a₁₃ b₁₁ b₁₂ b₁₃ c₁₁ c₁₂ c₁₃ и не забываем что матрице-ответе число строк равно числу строк первой матрицы, а число столбцов – числу столбцов второй матрицы.

Т.е Элемент C_ij (элементы в матрице-ответе) = сумме произведений соответствующих элементов i-й строки 1-ой матрицы на элементы j-го столбца 2-ой матрицы.

C11=элементы 1-й строки 1-й матрицы на элементы 1-го столбца 2-й матрицы
С21=2-я строка 1-й матрицы * 1-й столбец 2-й матрицы т.д.