Модуль числа
Впервые с модулем числа мы познакомились в шестом классе, где даётся такое определение: модулем числа \(x\) называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки \(x\). Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.
Модуль действительного числа – это абсолютная величина этого числа.
Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.
Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.
|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45
Определение модуля
Свойства модуля
| 1. Модули противоположных чисел равны | \(\mid a \mid = \mid -a \mid\) |
| 2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа | \(\mid a \mid^2 = a^2\) |
| 3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа |
\(\sqrt{a^2} =\mid a\mid\) \(\sqrt[2n]{a^{2n}} = \mid a \mid\) |
| 4. Модуль числа есть число неотрицательное | \(\mid a \mid\ge 0\) |
| 5. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля | \(\mid c \cdot x \mid = c \cdot \mid x \mid\), \(c > 0\) |
| 6. Если \(\mid a \mid = \mid b \mid\), то | \(a = \pm b\) |
| 7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей | \(\mid a \cdot b \mid = \mid a \mid \cdot \mid b \mid\) |
Геометрический смысл модуля
Модуль числа – это расстояние от нуля до данного числа.
Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.
Рассмотрим простейшее уравнение |x| = 3. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и -3. Значит, у уравнения |x| = 3 есть два решения: x = 3 и x = -3.
Пример 1.|x – 3| = 4.
Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки \(x\) до точки \(3\) равно \(4\). С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: \(-1\) и \(7\).
Решим неравенство: |x + 7| < 4.
Можно прочитать как: расстояние от точки \(x\) до точки \(-7\) меньше четырёх. Ответ: (-11; -3).
Решим неравенство: |10 – x| ≥ 7.
Расстояние от точки 10 до точки \(x\) больше или равно семи. Ответ: (-∞; 3]υ [17, +∞)
График функции y = |x|
Для x≥ 0 имеем y = x. Для x < 0 имеем y = -x.
Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа
При решении задач, содержаних модуль вещественного числа, основным приемом является раскрытие знака модуля в соответствии с его свойствами.
Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению:
В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например: 
, так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых \(x\) и \(y\). Или
, так как выражением под модулем не положительно при любых \(z\).
0.052 сек.