Модуль числа

Модуль числа
Геометрический смысл модуля
Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа

Алгебра

Биквадратное уравнение и методы и примеры его решения

Квадратное уравнение и решение полных и неполных квадратных управнений

Геометрическая прогрессия

Логарифм и его свойства. Примеры решения логарифмов

Корни и степени. Свойства корней n-ой степени. Таблица корней

Модуль числа

Формулы сокращенного умножения

Арифметическая прогрессия. Формула суммы арифметической прогрессии

Показательные уравнения: примеры и решения

Модуль числа

Впервые с модулем числа мы познакомились в шестом классе, где даётся такое определение: модулем числа $x$ называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки $x$ . Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Модуль действительного числа – это абсолютная величина этого числа.

Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.

Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Определение модуля

Свойства модуля

1. Модули противоположных чисел равны	$\mid a \mid = \mid -a \mid$
2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа	$\mid a \mid^2 = a^2$
3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа	$\sqrt{a^2} =\mid a\mid$ $\sqrt[2n]{a^{2n}} = \mid a \mid$
4. Модуль числа есть число неотрицательное	$\mid a \mid\ge 0$
5. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля	$\mid c \cdot x \mid = c \cdot \mid x \mid$ , $c > 0$
6. Если $\mid a \mid = \mid b \mid$ , то	$a = \pm b$
7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей	$\mid a \cdot b \mid = \mid a \mid \cdot \mid b \mid$

Геометрический смысл модуля

Модуль числа – это расстояние от нуля до данного числа.

Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.

Рассмотрим простейшее уравнение |x| = 3. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и -3. Значит, у уравнения |x| = 3 есть два решения: x = 3 и x = -3.

Пример 1.

|x – 3| = 4.

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки $x$ до точки $3$ равно $4$ . С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: $-1$ и $7$ .

Пример 2.

Решим неравенство: |x + 7| < 4.

Можно прочитать как: расстояние от точки $x$ до точки $-7$ меньше четырёх. Ответ: (-11; -3).

Пример 3.

Решим неравенство: |10 – x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки $x$ больше или равно семи. Ответ: (-∞; 3]υ [17, +∞)

График функции y = |x|

Для x≥ 0 имеем y = x. Для x < 0 имеем y = -x.

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа

При решении задач, содержаних модуль вещественного числа, основным приемом является раскрытие знака модуля в соответствии с его свойствами.

Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению:

В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например: , так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых $x$ и $y$ . Или, так как выражением под модулем не положительно при любых $z$ .

Алгебра