Разрешенная система уравнений
В общем случае линейное уравнение имеет вид:\(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b\)
Уравнение имеет решение: если хотя бы один из коэффициентов \(a_1 = a_2 = ... = a_n\) при неизвестных \(x_1, x_2,....x_n\) отличен от нуля. В этом случае любой \(n\)-мерный вектор \(x = (x_1, x_2,....x_n)\) называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.
Общая характеристика разрешенной системы уравнений
Пример 20.1Дать характеристику системе уравнений.
Решение:
1. Входит ли в состав системы линейных уравнений противоречивое уравнение? (Если коэффициенты \(a_1 = a_2 = ... = a_n =0, a b \ne 0\), в этом случае уравнение имеет вид: \(0*x_1+0*x_2+...+0*x_n= b\) и называется противоречивым.)
- Если система содержит противоречивое, то такая система несовместна и не имеет решения
2. Найти все разрешенные переменные. (Неизвестная \(x_n\) называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит (т.е. входит с коэффициентом, равным нулю).
- В нашем примере неизвестная \(x_1\) входит в первое уравнение с коэффициентом единица, во второе уравнение не входит, то есть \(x_1\) является первой разрешенной.
- Аналогично \(x_2\) – содержится только во втором уравнении а \(x_5\) только в первом.
3. Является ли система уравнений разрешенной? (Система уравнений называется разрешенной, если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, среди которых нет совпадающих)
- Наша система является разрешенной т.к. каждое уравнение содержит в себе разрешенные неизвестные \(x_1 , x_2, x_3\) )
В общем случае разрешенная система уравнений имеет вид:Разрешенные неизвестные, взятые по одному из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. (в нашем примере это \(x_1 x_2 x_5\))
Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными (\(x_1 x_2 x_5\)), а не входящие в набор – свободными (\(x_3 x_4\)).
!На данном этапе главное понять что такое разрешенная неизвестная (входящая в базис и свободная).
Общее Частное Базисное решения
Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные:
Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.
Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.
- Базисное решение (вектор) называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
- Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.
Пример 1. Найти общее, базисное и какое-либо частное решение системы уравнений:Теорема (1)
Разрешенная система уравнений всегда совместна (потому что она имеет хотя бы одно решение); причем если система не имеет свободных неизвестных, (то есть в системе уравнений все разрешенные входят в базис) то она определена (имеет единственное решение); если же имеется хотя бы одна свободная переменная, то система не определена (имеет бесконечное множество решений).
Решение:
1. Проверяем является ли система разрешенной?
- Система является разрешенной (т.к. каждое из уравнений содержит в себе разрешенную неизвестную)
2. Включаем в набор разрешенные неизвестные – по одному из каждого уравнения.
- В нашем случае мы можем включить в набор разрешенных неизвестных из первого уравнения – \(x_1\) и \(x_5\), а из второго уравнения только \(x_2\). То есть набор может состоять из (\(x_1 x_2\)) или (\(x_5 x_2\)).
3. Записываем общее решение в зависимости от того какие разрешенные неизвестные мы включили в набор.
- допустим мы включили в набор неизвестные \(x_1\) и \(x_2\), тогда общее решение будет выглядеть так:
4. Находим частное решение. Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор приравнять к произвольным числам.
- Пусть \(x_3=0\), \(x_4=1\), \(x_5=2\), тогда из общего решения находим:
Ответ: частное решение (один из вариантов) \(x = (9,24,0,1,2)\)
5. Находим базисное решение. Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор к нулю.
- \(x_3=x_4=x_5=0\), то из общего решения получаем \(x_1=10\), \(x_2=20\) и базисное решение: \(x_b=(10,20,0,0,0)\)
Элементарные преобразования линейных уравнений
Системы линейных уравнений приводятся к равносильным разрешенным системам с помощью элементарных преобразований.
Теорема (2)
Если какое-либо уравнение системы умножить на некоторое отличное от нуля число, а остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. (то есть если умножить левую и правую часть уравнения на одно и то же число то получится уравнение, равносильное данному)
Теорема (3)
Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. (то есть если сложить два уравнения (сложив их левые и правые части) то получится уравнение равносильное данным)
Следствие из Теорем (2 и 3)
Если к какому-либо уравнению прибавить другое, умноженное на некоторое число, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной.
Формулы пересчета коэффициентов системы
Если у нас есть система уравнений и мы хотим преобразовать ее в разрешенную систему уравнений в этом нам поможет метод Жордана-Гаусса.
Преобразование Жордана с разрешающим элементом \(A_lk \ne 0\) позволяет получить для системы уравнений разрешенную неизвестную \(x_k\) в уравнении с номером \(l\). (пример 2).
Преобразование Жордана состоит из элементарных преобразований двух типов:- Уравнение с разрешающим элементом \(A_ik\) делится на этот элемент (умножается на \(-1/A_lk\) )
- Уравнение с разрешающим элементом \(A_lk\) умножается на подходящие множители и прибавляется ко всем другим уравнениям для того, чтобы исключить неизвестную \(x_k\).
Допустим мы хотим сделать неизвестную \(x_k\) в нижнем уравнении разрешенной неизвестной. Для этого мы должны разделить \(a_ik\) на \(-A_lk\), так чтобы сумма \(-a_ik /a_lk + a_ik =0\).
Пример 2 Пересчитаем коэффициенты системы
При делении уравнения с номером \(l\) на \(A_lk\), его коэффициенты пересчитываются по формулам:
Чтобы исключить \(x_k\) из уравнения с номером \(i\), нужно уравнение с номером \(l\) умножить на 
и прибавить к этому уравнению.
Теорема (4) О сокращении числа уравнений системы.
Если система уравнений содержит тривиальное уравнение, то его можно исключить из системы, при этом получится система равносильная исходной.
Теорема (5) О несовместимости системы уравнений.
Если система уравнений содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.
Алгоритм метода Жордана-Гаусса
Алгоритм решения систем уравнений методом Жордана-Гаусса состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых производятся действия в следующем порядке:
- Проверяется, не является ли система несовместной. Если система содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.
- Проверяется возможность сокращения числа уравнений. Если в системе содержится тривиальное уравнение, его вычеркивают.
- Если система уравнений является разрешенной, то записывают общее решение системы и если необходимо – частные решения.
- Если система не является разрешенной, то в уравнении, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом.
- Далее заново переходят к пункту 1
Найти: два общих и два соответствующих базисных решения
Решение:
Вычисления приведены в нижеследующей таблице:
Справа от таблицы изображены действия над уравнениями. Стрелками показано к какому уравнению прибавляется уравнение с разрешающим элементом, умноженное на подходящий множитель.
В первых трех строках таблицы помещены коэффициенты при неизвестных и правые части исходной системы. Результаты первого преобразования Жордана с разрешающим элементом равным единице приведены в строках 4, 5, 6. Результаты второго преобразования Жордана с разрешающим элементом равным (-1) приведены в строках 7, 8, 9. Так как третье уравнение является тривиальным, то его можно не учитывать.
Равносильная система с разрешенными неизвестными \(x_1\) и \(x_2\) имеет вид:
Теперь можем записать Общее решение:
Приравниваем свободные переменные \(x_3\) и \(x_4\) нулю и получаем: \(x_1 = -3+0+0 = -3, x_2 = 4-2*0-3*0 = 4\).
Базисное решение: \(x_b1 = (-3,4,0,0)\)
Для того чтобы найти второе общее и соответствующее ему базисное решение, в полученной разрешенной системе в каком-либо уравнении необходимо выбрать какой-либо другой разрешающий элемент. (дело в том, что линейное уравнение может содержать несколько общих и базисных решений). Если разрешенная система уравнений, равносильная исходной системе содержит \(n\) неизвестных и \(m\) уравнений, то число общих и соответствующих базисных решений исходной системы равно числу сочетаний \(n\) и \(m\). Количество сочетаний можно вычислить по формуле:
В нашем случае выбран разрешающий элемент (-1) в первом уравнении при \(x_3\) (строка 7). Далее производим преобразование Жордана. Получаем новую разрешенную систему (строки 10,11) c новыми разрешенными неизвестными \(x_2\) и \(x_3\):
Записываем второе общее решение:
И соответствующее ему базисное решение: \(x_b2= (0, -2, 3, 0)\)
Ответы:Общее решение:
Базисное решение: \(x_b1 = (-3,4,0,0)\)
Общее решение:
Базисное решение: \(x_b2= (0, -2, 3, 0)\)
0.064 сек.