Квадратное уравнение

Определение квадратного уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c – некоторые числа (a ≠ 0), x – неизвестное.

Числа \(a, b, c\) называются коэффициентами квадратного уравнения.

\(a\) называется первым коэффициентом;
\(b\) называется вторым коэффициентом;
\(c\) – свободным членом.

Приведенное квадратное уравнение – уравнение вида \(x^2 + px + q = 0\), первый коэффициент которого равен единице (\(a = 1\)).

Если в квадратном уравнении коэффициенты \(b\) и \(c\) не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение \(2x^2 – 8x + 3 = 0\). Если один из коэффициентов \(b\) или \(c\) равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, \(5x^2 – 2x = 0\).

Значение неизвестного \(x\), при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение \(x = 2\) является корнем квадратного уравнения \(x^2 – 5x + 6 = 0\), потому что \(2^2 – 5 \cdot 2 – 6 = 0\) или \(0 = 0\) – это верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение – это значит найти множество его корней.

Решение неполных квадратных уравнений

ax² + bx = 0, a≠0, b≠0

Пусть неполное квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx = 0\), где a ≠ 0; b≠ 0. В левой части этого уравнения есть общий множитель \(x\).

1. Вынесем общий множитель \(x\) за скобки.

Мы получим \(x (ax + b) = 0\). Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем \(x = 0\) или \(ax + b = 0\). Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

2. Решаем получившуюся систему уравнений.

Решив эту систему, мы получим \(x = 0\) и \(x = – \frac {b}{a}\). Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня \(x = 0\) и \(x = – \frac {b}{a}\).

Пример 1.

\(3x^2 – 12x = 0\)

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

Ответ: 0; 4.

ax² + c = 0, a≠0, с≠0

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим \(x^2\).

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если , то получаем два корня:

если , то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

Пример 2.

\(3x^2 – 48 = 0\)

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня \(x = 4\) и \(x = -4\)

ax² = 0, a≠0

Разделим обе части уравнения на \(a\), мы получим \(x^2 = 0\), \(x = 0\). Таким образом, данное квадратное уравнение имеет один корень \(x = 0\). В этому случае говорят, что квадратное уравнение имеет двукратный корень \(x = 0\).

Решение полного квадратного уравнения

Найдем решение полного квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения \(D\) называется выражение b² – 4ac.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. D > 0. Тогда корни уравнения равны:

2. D = 0. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

3. D < 0. В этом случае уравнение не имеет решения.

Теорема Виета

Теорема Виета – сумма корней приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна -p, а произведение корней равно q.

Обратная теорема – если сумма двух чисел x₁ и x₂ равна p, а произведение этих числе равно q, то числа x₁ и x₂ являются корнями приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен – многочлен вида ax² + bx + c = 0, где x – переменная, a,b,c – некоторые числа.

Значения переменной \(x\), которые обращают квадратный трехчлен в нуль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена – это корни квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

Теорема. Если квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет корни \(x_1, x_2\), то его можно записать в виде: x² + bx + c = a (x – x₁)(x – x₂).

Пример 3.

Разложим на множители квадратный трехчлен: \(2x^2 + 5x -3\)

Сначала решим квадратное уравнение:

Получим: \(x_1 = 0.5\) и \(x_2 = -3\)

Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители: