Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний . При больших значениях
пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона.
Теорема. Если вероятность наступления события
в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний
достаточно велико, то вероятность наступления события
ровно
раз приближенно равна
,(3.4)
где .
Доказательство. Пусть даны вероятность наступления события в одном испытании
и число независимых испытаний
. Обозначим
. Откуда
. Подставим это выражение в формулу Бернулли:
При достаточно большом !!n,, и сравнительно небольшом !!m,, все скобки, за исключением предпоследней, можно принять равными единице, т.е.
Учитывая то, что достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при
, т.е. найти предел
Тогда получим
Пример. На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Найти вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три и ровно пять битых бутылок.
Решение. Дано: n = 100000, p = 0,0001, m = 3 (m = 5).
Находим .
Воспользуемся формулой Пуассона
