Grandars.ru » Высшая математика » Эконометрика »

Эконометрическая модель

Эконометрическая модель

При построении эконометрических моделей могут использоваться два принципиально различных типа исходных информационных массивов — статический и динамический.

Статический массив выражает взаимосвязи между результирующей (зависимой, объясняемой и т.п.) переменной и влияющими на нее факторами (независимыми, объясняющими переменными) , характерными для однородной совокупности объектов в определенный период времени. Примером таких объектов является некоторая совокупность однотипных промышленных предприятий (заводов одной отраслевой направленности). В качестве в практических исследованиях часто рассматриваются показатели производительности труда, объемов выпускаемой продукции и некоторые другие. В качестве — влияющие на уровень этих показателей факторы — объемы используемых фондов, квалификация рабочей силы и т.п.

Другой пример статической информации характерен для социальных исследований, когда в качестве рассматривается заболеваемость (смертность) населения, уровень которых в каждом из регионов страны определяют независимые факторы, отражающие достигнутый материальный уровень жизни, климатические условия, состояние окружающей среды и т.п. В этом случае необходимая для построения эконометрической модели информация собирается по совокупности регионов страны за фиксированный промежуток времени.

Таким образом, необходимая для построения эконометрической модели статическая информация выражается следующими массивами взаимно соответствующих наборов данных:

— уровень зависимой переменной на -м объекте совокупности; — уровень фактора -го фактора на -м объекте совокупности; i = 1, 2,..., n ; j = 1, 2,..., N.

В общем случае эконометрическая модель, использующая динамическую информацию, связывает значения некоторой зависимой переменной в моменты времени cо значениями независимых переменных (факторов) , рассматриваемых в те же моменты времени (или в предшествующие). Такая информация может отражать, например, уровни производительности труда на одном из заводов и определяющие ее характеристики факторов в последовательные моменты времени.

Несложно заметить, что принципиального различия между статическим и динамическим массивами не существует. С абстрактных позиций момент времени выражает единицу совокупности, так что набор y1, y2 , ... , yT может рассматриваться как выборка из заводов (регионов) и наоборот. Это же относится и к элементам хij и хit.

Вследствие этого в дальнейшем при изложении материала (если это не оговорено специально) для определенности будем использовать динамические обозначения.

Будем предполагать, что общее число независимых факторов равно , i = 1, 2,..., n, и в ходе измерения уровней всех переменных в моменты времени t = 1, 2,..., T был сформирован массив исходных данных, который послужит основой для построения эконометрической модели.

Данный массив образован вектором-столбцом значений зависимой переменной y = (y1 , y2 , ... , yT )' и матрицей значений независимых переменных

размерностью , таким образом, что каждому элементу вектора y соответствует строка матрицы Х.

Эконометрическая модель, отражающая взаимосвязь переменных и , , в общем виде может быть представлена следующим уравнением:

yt = ft (a , x) + εt , (1.1)

  • ft (a, x) — функционал, выражающий закономерность взаимосвязи между переменными и ;
  • x = (х1 , х2 ,..., хn ) — вектор независимых переменных (факторов);
  • a = (a0 , a1 ,..., an ) — вектор параметров модели;
  • параметр выражает степень влияния фактора на переменную ;
  • — постоянная модели;
  • εt- случайная ошибка модели в момент , в отношении которой выдвигается предположение о равенстве нулю ее математического ожидания и конечности дисперсии.

Под структурой эконометрической модели понимается совокупность переменных и их взаимосвязей, входящих в правую часть выражения (1.1). Форма эконометрической модели отражает особенности взаимосвязи между переменными и , .

Проблема построения эконометрической модели состоит в определении конкретного состава независимых переменных , выборе вида функционала, связывающего их с зависимой переменной и в оценке его параметров , ; на основании известных компонент вектора y и элементов матрицы Х.

Состав переменных и функционал могут отражать либо экономическую концепцию, лежащую в основе взаимосвязи между зависимой и независимыми переменными, либо эмпирические (т.е. выявленные в ходе конкретных исследований) взаимосвязи между ними в период (1, Т).

В практике эконометрических исследований используется достаточно широкий круг функциональных зависимостей между переменными. Основные из них следующие:

1. линейная эконометрическая модель

, (1.2)

2. правая полулогарифмическая эконометрическая модель

, (1.3)

3. степенная эконометрическая модель

4. гиперболическая эконометрическая модель

, (1.5)

5. логарифмическая гиперболическая эконометрическая модель

, (1.6)

6. обратная линейная (функция Торнквиста) эконометрическая модель

, (1.7)

7. функция с постоянной эластичностью замены

где и - также параметры функции.

Следует отметить, что в практических исследованиях могут встретиться и комбинации рассмотренных выше зависимостей. Например,

. (1.9)

Здесь необходимо отметить, что значительное большинство функций с помощью определенного набора преобразований могут быть приведены к линейной форме (1.2). Например, если и связаны зависимостью у ~ 1/хi (выражение (1.5)), то, введя переменные vi = 1/хi , получим выражение (1.2) с точностью до преобразования исходных факторов.

Аналогичным образом, используя преобразование vi = ln хi , получим линейную модель при логарифмической взаимосвязи между переменными и , т.е. у ~ ln хi .

Заметим, что в основе использования степенной функции (1.4) обычно лежит концептуальное допущение о постоянстве частной эластичности выпуска по каждому ресурсу (фактору) . Напомним, что частная эластичность в точке показывает, на сколько процентов изменится зависимая переменная при изменении фактора на при условии постоянства значений остальных факторов в этой точке. Эластичность определяется следующим выражением:

. (1.10)

Подставим вместо в правую часть выражения (1.10) функцию . Учитывая, что получим

Эi = ai . (1.11)

Таким образом, коэффициент модели (1.4) сразу определяет значение эластичности по фактору на интервале (1,Т).

Удобство экономической интерпретации параметров модели (1.4), относительная простота ее записи и послужили причиной ее широкого использования, особенно в макроэкономических исследованиях.

Например, двухфакторная функция Кобба Дугласа

(1.12)

обычно применяется в макроэкономических исследованиях при анализе взаимосвязи между объемом полученного валового внутреннего продукта () и используемыми ресурсами ( - основные фонды и - затраты живого труда).

Функция с постоянной эластичностью замены (1.8) обычно используется в предположении о постоянстве эластичности замещения изменения одного фактора соответствующим изменением другого, обеспечивающего постоянство зависимой переменной . Иными словами, значение этого коэффициента показывает, на сколько процентов необходимо изменить значение -го фактора при изменении -го на 1% при условии, что зависимая переменная не изменится. Значения других факторов при этом предполагаются неизменными. Таким образом, эластичность замещения определяется выражением:

Проводя расчеты по формуле (1.13) для функции (1.8), получим, что для всех и и для всех значений t =1,2,...,Т эластичность замещения прироста одного фактора соответствующим изменением другого является постоянной:

Для многих практических исследований столь строгие теоретические концепции о характере взаимодействия между переменными отступают на второй план. Для них главным является установление взаимосвязи между переменными и , , наиболее адекватной тенденциям изменений этих величин на временном интервале (1, Т). Правильный выбор формы таких взаимосвязей обеспечит наилучшее приближение теоретических (расчетных) значений yt = ft (a, x) к действительным значениям . Обычно такой выбор осуществляется на основе графического анализа тенденций развития соответствующих процессов. Например, если переменные и изменялись во времени согласно графикам, представленным на рис. 1, то логично предположить, что у ~ 1/хit .

Рис. 1

Для графиков, представленных на рис. 2, характерной является логарифмическая зависимость уt ~ ln хit.

В этих и во многих других случаях, как правило, с учетом замены переменных, в качестве функции f (a, x) выбирается линейная форма (1.2). Заметим, что значение частичной эластичности по фактору , рассчитанное на основе выражения (1.13) для функции (1.2) равно

Рис. 2

и, таким образом, этот показатель изменяется во времени в соответствии с изменениями и .

Аналогично можно показать, что эластичность замещения факторов и для функции (1.2) также является переменной величиной

и ее значение также зависит от соотношения уровней рассматриваемых факторов в каждый момент времени.