Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров x1,x2,...xn
Числа x1,x2,...,xn — называются элементами последовательности, символ xn — общим элементом, а число n — его номером. Сокращенно последовательность обозначается символом {xn}.
Счетным множеством называется множество эквивалентное множеству натуральных чисел. Следовательно любая последовательность является счетным множеством.
Предел последовательности
Окрестностью точки x0 называется любой интервал, содержащий эту точку.
δ — окрестностью точки x0 Uδ (x0) называется интервал длиной 2δ с центром в этой точке.
Определение предела последовательности
Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε > 0 найдется номер n0 = n0(ε) ∈ N такой, что для всех номеров n > n0 выполняется неравенство |xn — a| <ε
Число b называется пределом последовательности {xn}=x1, x2,..., xn (lim {xn} = b; n→∞)
Последовательность {xn}, имеющая конечный предел а, называется сходящейся.
Последовательность, имеющая бесконечный предел или вообще не имеющая предела, называется расходящейся
Теорема 1.
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теормера 2. О сходимости подпоследовательности
Теорема 3. Об арифметических действиях над сходящимися последовательностями
Теорема 4. Критерий Коши сходимости последовательности
Для того чтобы последовательность {xn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы ∀ε >0 ∃номер n0 такой, что ∀n > n0 и любого p∈N выполнялось неравенство |xn+p - xn| <ε
Если предел последовательности равен нулю, то ее называют бесконечно малой
Свойства бесконечно малых последовательностей