Биквадратное уравнение

Алгебра

Квадратное уравнение и решение полных и неполных квадратных управнений

Геометрическая прогрессия

Логарифм и его свойства. Примеры решения логарифмов

Корни и степени. Свойства корней n-ой степени. Таблица корней

Модуль числа, его определение и геометрический смысл. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа

Формулы сокращенного умножения

Арифметическая прогрессия. Формула суммы арифметической прогрессии

Показательные уравнения: примеры и решения

Биквадратным уравнением – называется уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки $y = x^2$ .

Новое квадратное уравнение относительно переменной $y$ : $ay^2 + by + c = 0$

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения $y_1$ и $y_2$ . Решая эти два уравнения ( $y_1 = x_1^2$ и $y_2 = x_2^2$ ) относительно переменной $x$ , мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

Ввести новую переменную $y = x^2$
Подставить данную переменную в исходное уравнение
Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
После нахождения корней ( $y_1, y_2$ ) подставить их в нашу переменную $y = x^2$ и найти исходные корни биквадратного уравнения

Пример решения

Решим биквадратное уравнение $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$ . Сначала приводим это уравнение к квадратному. Для этого введем вспомогательное неизвестное $y$ такое, что $y = x^2$ . Тогда $x^4 = y^2$ . Теперь данное биквадратное уравнение приводится к виду:

$4y^2 - 5y + 1 = 0$

Решая это квадратное уравнение, мы получим $y_1 = 1$ , $y_2 = 1/4$ . Так как $y = x^2$ , то данное биквадратное уравнение эквивалентно системе двух уравнений:

Решим каждое из этих уравнений и найдем объединение множеств их решений.

Ответ: $x_1 = 1, x_1 = -1, x_3 = 1/2, x_4 = -1/2$

Алгебра