Биквадратным уравнением – называется уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0.
Метод решения
Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки \(y = x^2\).
Новое квадратное уравнение относительно переменной \(y\): \(ay^2 + by + c = 0\)
Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения \(y_1\) и \(y_2\). Решая эти два уравнения (\(y_1 = x_1^2\) и \(y_2 = x_2^2\)) относительно переменной \(x\), мы получаем корни данного биквадратного уравнения.
Порядок действий при решении биквадратных уравнений- Ввести новую переменную \(y = x^2\)
- Подставить данную переменную в исходное уравнение
- Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
- После нахождения корней (\(y_1, y_2\)) подставить их в нашу переменную \(y = x^2\) и найти исходные корни биквадратного уравнения
Пример решения
Решим биквадратное уравнение \(4x^4 – 5x^2 + 1 = 0\). Сначала приводим это уравнение к квадратному. Для этого введем вспомогательное неизвестное \(y\) такое, что \(y = x^2\). Тогда \(x^4 = y^2\). Теперь данное биквадратное уравнение приводится к виду:
\(4y^2 – 5y + 1 = 0\)
Решая это квадратное уравнение, мы получим \(y_1 = 1\), \(y_2 = 1/4\). Так как \(y = x^2\), то данное биквадратное уравнение эквивалентно системе двух уравнений:
Решим каждое из этих уравнений и найдем объединение множеств их решений.
Ответ: \(x_1 = 1, x_1 = -1, x_3 = 1/2, x_4 = -1/2\)
0.047 сек.