Для точного определения оптимального объема выпуска фирма использует графический метод анализа производственной функции через изокванты и изокосты.

Изокванта

Для простоты анализа, как и прежде, будем полагать, что:
  • исследуемая функция производства зависит от двух факторов: труда и капитала и является частным случаем функции Кобба-Дугласа и имеет вид \(Q=KL\)
  • факторы производства в определенных пределах будут взаимозаменяемыми
  • технология производства в течение всего рассматриваемого периода не меняется

Представим в виде таблицы данную функцию для значений \(K\) и \(L\) от 1 до 4.

\(K\) →
\(L\)
↓

 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
3 3 6 9 12
4 4 8 12 16

Как видно из таблицы, существует несколько комбинаций труда и капитала, обеспечивающих в определенных пределах заданный объем выпуска. Например \(Q=4\) можно получить, используя комбинацию (1,4), (4,1) и (2,2).

Если отложить по горизонтальной оси количество единиц труда, а по вертикальной — количество единиц капитала, затем обозначить точки, в которых фирма выпускает один и тот же объем, то получится кривая, представленная на рисунке 14.1 и называемая изоквантой.

Каждая точка изокванты соответствует комбинации ресурсов, при которой фирма выпускает заданный объем продукции.

Набор изоквант, характеризующий данную производственную функцию, называется картой изоквант.

Карта изоквант

Свойства изоквант

Свойства стандартных изоквант аналогичны характеристикам кривых безразличия:
  1. Изокванта, так же как и кривая безразличия, является непрерывной функцией, а не набором дискретных точек.
  2. Для любого заданного объема выпуска может быть проведена своя изокванта, отражающая различные комбинации экономических ресурсов, обеспечивающих производителю одинаковый объем производства (изокванты, описывающие данную производственную функцию, никогда не пересекаются).
  3. Изокванты не имеют участков возрастания (Если бы участок возрастания существовал, то при движении вдоль него увеличивалось бы количество как первого, так и второго ресурса).

Предельная норма технологического замещения

Предельная норма технологического замещения одного ресурса на другой (например, труда на капитал) показывает степень замещения труда капиталом, при котором объем выпуска остается неизменным.

Алгебраическое выражение, показывающее степень, в которой производитель готов сократить количество капитала в обмен на увеличение труда, достаточную для сохранения прежнего объема выпуска имеет вид: \(MRTS = \frac {\Delta K}{\Delta L}\).

Как видно на рисунке выше, при переходе из точки \(A\) в точку \(B\) объем производства остается неизменным. Это означает что сокращение выпуска в результате уменьшения затрат капитала \((\Delta K = K_2 — K_1)\) компенсируется увеличением выпуска за счет использования дополнительного количества труда \((\Delta L = L_2 — L_1)\).

Сокращение выпуска в результате уменьшения затрат капитала равно произведению \(\Delta K\) на предельный продукт капитала, или \(-\Delta K*MPK\). Увеличение выпуска за счет использования дополнительного количества труда в свою очередь равно произведению \(\Delta L\) на предельный продукт труда, или \(\Delta L*MPL\).

Таким образом, можно записать, что \(-\Delta *MPK=\Delta L*MPL\). Запишем данное выражение по-иному: \(-\Delta K/\Delta L = MPL/MPK\) или \(MRTS=\Delta K/\Delta L=-MPL/MPK\).

Производственная функция, связывающая между собой количество капитала, труда и объем выпуска, позволяет также рассчитать предельную норму технологического замещения через производную данной функции: \(MRTS= \frac {d_K}{d_L}\).

Это значит, что графически в любой точке изокванты предельная степень технологического замещения равна тангенсу угла наклона касательной к изокванте в этой точке.

Пример 14.2 Нахождение MRTS для заданной функции

Условие: Пусть производственная функция имеет вид \(Q=KL\).

Определить: \(MRTS\) при \(Q=10\) для \(L=1\).

Решение:

\(10=KL\), \(K=10/L=10*L-1\)

\(MRTS= \frac {d_K}{d_L}=-10*L-1=-10\)

Очевидно, что степень замещения труда капиталом не остается постоянной при движении вдоль изокванты. При перемещении вниз по кривой абсолютное значение MRTS труда капиталом убывает, так как все большее количество труда приходится использовать, чтобы компенсировать снижение затрат капитала (Так, в приведенном выше примере при L=1 MRTS=-10, а при L=10 MRTS=-0.1.)

В дальнейшем MRTS достигает своего предела (MRTS=0), а изокванта приобретает горизонтальный вид. Очевидно, что дальнейшее снижение затрат капитала приведет лишь к сокращению объемов выпуска. Количество капитала в точке Е — минимально допустимое для данного объема производства (аналогичным образом минимально допустимое для производства данного объема количество труда имеет место в точке А).

Убывание предельной нормы технологического замещения

Убывание MRTS одного ресурса другим характерно для большинства производственных процессов и характерно для всех изоквант стандартного вида.

Особые случаи производственной функции (изокванты нестандартного вида)

Совершенная взаимозаменяемость ресурсов

Если ресурсы, используемые в процессе производства, являются абсолютно заменяемыми, то \(MRTS\) постоянна во всех точках изокванты, а карта изоквант имеет вид как на рисунке 14.2. (Примером такого производства может служить производство, допускающее как полную автоматизацию, так и ручное изготовление какого-либо продукта).

Фиксированная структура использования ресурсов

Если технологический процесс исключает замещение одного фактора на другой и требует использование обоих ресурсов в строго фиксированных пропорциях, производственная функция имеет вид латинской буквы \(L\), как на рисунке 14.3.

Примером подобного рода может служить работа землекопа (одна лопата и один человек). Увеличение одного из факторов без соответствуюещго изменения количества другого фактора нерационально, поэтому технически эффективными будут лишь угловые комбинации ресурсов (угловая точка — точка, где пересекаются соответствующие горизонтальная и вертикальная линии).

Изокоста

Как мы уже выяснили раньше, набор изоквант отдельной фирмы (карта изоквант) показывают технически возможные комбинации ресурсов, обеспечивающие фирме соответствующие объемы выпуска. Однако при выборе оптимальной комбинации ресурсов производитель должен учитывать не только доступную ему технологию, но и свои финансовые ресурсы, а также цены на соответствующие факторы производства.

Совокупность двух последних факторов определяет область доступных производителю экономических ресурсов.

Бюджетное ограничение производителя может быть записано в виде неравенства:

\(P_k*K + P_lL \le T*C\)

где:

  • \(P_k, P_l\) цена капитала и труда
  • \(K L\) — количество капитала и труда
  • \(TC\) — совокупные расходы (издержки) фирмы на приобретение ресурсов

Если производитель полностью расходует свои средства на приобретение данных ресурсов, то мы получаем равенство:

\(P_k*K+P_lL = T*C\) или

\(K = \frac {TC}{P_k} — \frac {P_l}{P_k}*L\)

Полученное уравнение называют уравнением изокосты.

Изокоста

Линия изокосты представленная на рисунке 14.4 показывает набор комбинаций экономических ресурсов (в данном случае труда и капитала), которые фирма может приобрести с учетом рыночных цен на ресурсы и при полном использовании своего бюджета.

Наклон линии изокосты определяется отношением рыночных цен на труд и на капитал ( — РL/РK), что вытекает из уравнения изокосты.

Линия изокосты производителя

0.083 сек.