Grandars.ru » Математика » Алгебра »

Показательные уравнения: примеры и решения

Биквадратное уравнение и методы и примеры его решения
Квадратное уравнение и решение полных и неполных квадратных управнений
Логарифм и его свойства. Примеры решения логарифмов
Корни и степени. Свойства корней n-ой степени. Таблица корней
Модуль числа, его определение и геометрический смысл. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа
Арифметическая прогрессия. Формула суммы арифметической прогрессии

Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Также подобные уравнения могут содержать многочлены, корни, логарифмы и тригонометрию. Показательные уравнения проходят в 10-11 классе.

При решении показательных уравнений нужно четко знать правила действий со степенями, свойства показательной функции, обратив внимание на то, что областью ее определения является множество всех действительных чисел, а областью значений – множество положительных чисел. Так, если ax = b, то x может быть любым действительным числом, а b = аx – только положительным числом (при этом мы полагаем, что а > 0 и а ≠ 1).

Простое показательное уравнение

К простейшим показательным уравнениям относятся уравнения: обе части которых приводятся к одному и тому же основанию.

Самое простое показательное уравнение имеет вид ax = b, где a > 0, a ≠ 1.

Данное уравнение имеет единственное решение x = loga b при b > 0 и не имеет решений при b ≤ 0.

Простейшее показательное уравнение

Решить уравнение:

Решение. Преобразуя правую часть, получим 2x = 24 * 21/3, или 2x = 24+1/3. Из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует равенство их показателей, т.е. х = 13/3.

Ответ: 13/3.

Пример 2

Решить уравнение: 2х = 3х/2.

Решение. Представим уравнение в виде . Разделив обе части уравнения на , получим , или , откуда x = 0.

Ответ: 0.

Пример 3

Решить уравнение: 2х = 5.

Решение. На основании определения логарифма x = log2 5. Ответ можно получить и в другой форме, например, логарифмируя обе части уравнения по основанию 10: х lg 2 = lg 5, откуда .

Ответ: log2 5.

Пример 4

Решить уравнение: 2х = -20.

Решение. Так как значения показательной функции всегда положительны, то данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Пример 5

При решении многих показательных уравнений нет необходимости делать проверку корней (речь идет о проверке корней, принципиально необходимой для решения задачи. Разумеется, проверку с целью контроля вычислений можно делать в любом случае), однако если в процессе решения расширяется область допустимых значений (ОДЗ) уравнения или, например, используется метод возведения обеих частей уравнения в квадрат, то проверка корней (или исследование равносильности сделанных при решении преобразований) необходима (данный пример).

Решить уравнение:

Решение. Левая часть представляет степень с основанием 2. Можно заметить, что и правую часть уравнения можно привести к тому же основанию. Действительно,

или

Так как при возведении в степень показатели степеней перемножаются, а при умножении степеней с одинаковым основанием – складываются, получим

или откуда

Возводя обе части уравнения в квадрат, получим или после преобразований x2 – 24x = 0, откуда x1 = 0, x2 = 24.

В данном уравнении необходимо сделать проверку, так как в процессе решения расширилась ОДЗ уравнения (ОДЗ исходного уравнения [ – 1, +∞), а полученного в конце решения ( – ∞, +∞)), и мы возводили обе части уравнения в квадрат. Проверка показывает, что х = 24 – корень уравнения, а х = 0 – посторонний корень.

Ответ: 24.

Пример 6

Решить уравнение:

Решение. Преобразуем левую и правую части уравнения к степени с основанием 3/4:

или откуда x – 1 – 1/x = 2, x2 – 3x – 1 = 0 и

Ответ:

Пример 7

Решить уравнение: 62x+4 = 2x+8 * 3.

Решение. Представим уравнение в виде (2 * 3)2x+4 = 2x+8 * 33x, или 22x+4 * 32x+4 = 2x+8 * 33x.

Приведем левую часть, например, к степени с основанием 2, а правую – с основанием 3. Так как 2x+8 ≠ 0 и 32x+4 ≠ 0, получим или (вычитания соответствующих показателей степеней) 2х-4 = 3х-4.

Полученное уравнение представим в виде откуда x – 4 = 0 и x = 4.

Ответ: 4.

Метод вынесения общего множителя за скобки

Решить уравнение: 3х+1 + 3х-1 + 3 х-2 = 5х + 5x-1 + 5х-2.

Решение. Преобразуем уравнение, вынося в каждой части уравнения степень с наименьшим показателем:

откуда 3x-2 * 31 = 5x-2 * 31, или 3x-2 = 5x-2, т.е.

Итак, x – 2 = 0 и x = 2.

Ответ: 2.

Пример 9

Решить уравнение:

Решение. Перепишем уравнение в виде

Вынося в каждой части уравнения степень с наименьшим показателем, получим , или откуда , т.е.

Последнее уравнение представим в виде , или , откуда 2x – 3 = 0 и x = 1,5.

Ответ: 1,5.

Пример 10

Решить уравнение: 32x-2 – 6 * 3x – 243 = 0.

Решение. Представим уравнение в виде . Положив 3x = y > 0, придем к квадратному уравнению y2 – 54y – 2187 = 0, откуда y1 = 81, y2 = -27 (является посторонним, так как y > 0).

Итак, 3x = 81, или 3x = 34, откуда x = 4.

Ответ: 4.

Пример 11

Решить уравнение: .

Решение. Представим уравнение в виде .

Положив , сведем данное уравнение к квадратному y2 – 10y + 32 = 0. Так как дискриминант этого уравнения D = 102 – 4 * 32 = -28 отрицателен, то оно, а следовательно, и данное уравнение не имеют решений.

Ответ: решений нет.

Пример 12

Решить уравнение 4x + 6x = 2 * 9x.

Решение. В каждый член уравнения входит либо квадрат выражения 2х или 3x, либо их произведение, т.е. имеем однородное уравнение второй степени. Для его решения разделим обе части уравнения, например, на 9x ≠ 0 (или на 4х ≠ 0, или на 6х ≠ 0, не принципиально).

Получим , или .

Полагая , получим y2 + y – 2 = 0, откуда y1 = 1, y2 = -2 (посторонний корень, так как y > 0). Теперь , откуда x = 0.

Ответ: 0.

Система показательных уравнений

Решить систему уравнений: .

Решение. Перемножив соответственно обе части уравнений, получим 6х • 6y = 216 , или 6x+y = 63 , откуда х + у = 3.

Разделив обе части первого уравнения на соответствующие части второго, получим , откуда x – y = 1. Итак, имеем систему из которой x = 2, y = 1.

Ответ: 2; 1.

Замечание. Поскольку , можно было подобрать решение системы x = 2, y = 1, но в этом случае следовало доказать, что других решений система не имеет; при отсутствии доказательства такое «решение» является в принципе ошибочным.