www.Grandars.ru » Высшая математика » Основы линейной алгебры »

Система линейных уравнений

Линейные уравнения

В общем случае линейное уравнение имеет вид:

a1x1+a2x2+...+anxn=b

где:

  • a1, a2,...,an, b — постоянные величины
  • x1, x2,..., xn — неизвестные

Любой n-мерный вектор Х = (x1, x2,....xn) называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.

Два линейных уравнения называются равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Три случая при решении линейных уравнений

  1. Если коэффициенты при неизвестных a1 = a2 = ... = an =0 и b = 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x1+0*x2+...+0*xn=0 и называется тривиальным (данное уравнение имеет бесконечное множество решений)
  2. Если коэффициенты a1 = a2 = ... = an =0, а b ≠ 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x1+0*x2+...+0*xn= b и называется противоречивым. (данное уравнение не имеет ни одного решения)
  3. Хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля.

Пусть а1 ≠0. В этом случае можно разрешить уравнение относительно x1:

Важно: При этом x1 называется разрешенной неизвестной, x2, x3,....,xn называются свободными неизвестными. Если свободными неизвестным придать любые конкретные значения x2=k2, x3=k3,...,xn=kn, то вектор K=(k2, k3,...,kn) является решением исходного уравнения.

Системы линейных уравнений

Классификация систем линейных уравнений по количеству решений

В общем случае система линейных уравнений, содержащая m уравнений и n уравнений имеет вид:

где, aij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) и bi (i=1,2,...,m), постоянные величины.

Решением системы уравнений называется такой n-мерный вектор Х = (x1, x2,...,xn), который одновременно является решением каждого из уравнений системы.

Системы уравнений бывают:

  • Равносильными называются две системы уравнений, если они имеют одно и тоже множество решений.
  • Совместной называется система уравнений, если она имеет хотя бы одно решение.
  • Несовместной называется система уравнений, если она не имеет ни одного решения.
  • Определенной называется система уравнений, если она имеет единственное решение.
  • Неопределенной называется система уравнений, если она имеет бесконечное множество решений.

Векторная и матричная формы записи систем линейных уравнений

Векторная форма записи

Система уравнений может быть записана в векторном виде:

A1x1 + A2x2 + ... + Anxn =B

Пример 1. Записать в векторном виде.

Матричная форма записи

В матричной записи система линейных уравнений может быть записана следующим образом:

AX=B

Пример 2: Записать в матричном виде систему из предыдущего примера