N-мерные векторы и действия над ними

Множество чисел пронумерованное с помощью натуральных числе и расставленных в порядке возрастания их номеров называется числовой последовательностью.

Общая характеристика вектора

N-мерным вектором называется последовательность чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Вектор записывается в виде строки или столбца:

Разновидности векторов:
  • нулевой вектор —
  • единичные векторы специального вида —

Условие равенства векторов

Два вектора и равны между собой, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие координаты равны т.е.:

Пример: векторы и — равны, потому что

Коллинеарные (параллельные) векторы

Векторы и называются коллинеарными (параллельными), если A=λ*B, ai=λ*bi, i=1,2,...,n.

λ — некоторое число:
  • если λ>0, то направления векторов совпадают
  • если λ<0, то направления противоположны

Пример: векторы и параллельны и их направления совпадают:

  • λ=2

Действия над векторами

Умножение вектора на число

Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число λ, при этом все его координаты умножаются на это число:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Пример: A=(1,2,3); λ=2; A*λ=(1*2,2*2,3*2)=(2,4,6)

Сложение векторов

Два вектора одинаковой размерности можно сложить, при этом их соответствующие координаты складываются:

Свойства линейных операций:
  • А + В = В + А
  • (А + В) + С = А+(В + С)
  • λ(А + В) = λА + λВ
  • (λ+ μ)А = λА + μ А
  • λ(μ А) = (λμ)А

Пример:

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется величина, вычисляемая по формуле:

Свойства произведения:
  • λ(A*B)=λ*A*B

Пример:

Модуль (длина) вектора

Если модуль вектора равен 1 то он называется единичным и обозначается через

Пример:
|a|=√(a12+a22+a32)

Угол между векторами

Условие перпендикулярности:A*B=0 или a1*b1+a2*b2+...+anbn

Мини-заключение:

  • Умножение вектора на число: A=(1,2,3); λ=2; A*λ=(1*2,2*2,3*2)=(2,4,6)
  • Сложение векторов: A=(1,2,3) B=(1,2,3); A+B=(1+1, 2+2, 3+3)
  • Скалярное произведение векторов:
  • Модуль вектора: a=(a1,a2,a3); |a|=√(a12+a22+a32)