www.Grandars.ru » Высшая математика » Основы линейной алгебры »

Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Разрешенная система уравнений

В общем случае линейное уравнение имеет вид:

Уравнение имеет решение: если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В этом случае любой -мерный вектор называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.

Общая характеристика разрешенной системы уравнений

Пример 20.1

Дать характеристику системе уравнений.

Решение:

1. Входит ли в состав системы линейных уравнений противоречивое уравнение? (Если коэффициенты , в этом случае уравнение имеет вид: и называется противоречивым.)

  • Если система содержит противоречивое, то такая система несовместна и не имеет решения

2. Найти все разрешенные переменные. (Неизвестная называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит (т.е. входит с коэффициентом, равным нулю).

  • В нашем примере неизвестная входит в первое уравнение с коэффициентом единица, во второе уравнение не входит, то есть является первой разрешенной.
  • Аналогично — содержится только во втором уравнении а только в первом.

3. Является ли система уравнений разрешенной? (Система уравнений называется разрешенной, если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, среди которых нет совпадающих)

  • Наша система является разрешенной т.к. каждое уравнение содержит в себе разрешенные неизвестные )

Разрешенные неизвестные, взятые по одному из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. (в нашем примере это )

Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными (), а не входящие в набор — свободными ().

В общем случае разрешенная система уравнений имеет вид:

!На данном этапе главное понять что такое разрешенная неизвестная (входящая в базис и свободная).

Общее Частное Базисное решения

Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные:

Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.

Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.

  • Базисное решение (вектор) называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
  • Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.

Теорема (1)

Разрешенная система уравнений всегда совместна (потому что она имеет хотя бы одно решение); причем если система не имеет свободных неизвестных, (то есть в системе уравнений все разрешенные входят в базис) то она определена (имеет единственное решение); если же имеется хотя бы одна свободная переменная, то система не определена (имеет бесконечное множество решений).

Пример 1. Найти общее, базисное и какое-либо частное решение системы уравнений:

Решение:

1. Проверяем является ли система разрешенной?

  • Система является разрешенной (т.к. каждое из уравнений содержит в себе разрешенную неизвестную)

2. Включаем в набор разрешенные неизвестные — по одному из каждого уравнения.

  • В нашем случае мы можем включить в набор разрешенных неизвестных из первого уравнения — и , а из второго уравнения только . То есть набор может состоять из () или ().

3. Записываем общее решение в зависимости от того какие разрешенные неизвестные мы включили в набор.

  • допустим мы включили в набор неизвестные и , тогда общее решение будет выглядеть так:

4. Находим частное решение. Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор приравнять к произвольным числам.

  • Пусть , , , тогда из общего решения находим:

Ответ: частное решение (один из вариантов)

5. Находим базисное решение. Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор к нулю.

  • , то из общего решения получаем , и базисное решение:

Элементарные преобразования линейных уравнений

Системы линейных уравнений приводятся к равносильным разрешенным системам с помощью элементарных преобразований.

Теорема (2)

Если какое-либо уравнение системы умножить на некоторое отличное от нуля число, а остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. (то есть если умножить левую и правую часть уравнения на одно и то же число то получится уравнение, равносильное данному)

Теорема (3)

Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. (то есть если сложить два уравнения (сложив их левые и правые части) то получится уравнение равносильное данным)

Следствие из Теорем (2 и 3)

Если к какому-либо уравнению прибавить другое, умноженное на некоторое число, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной.

Формулы пересчета коэффициентов системы

Если у нас есть система уравнений и мы хотим преобразовать ее в разрешенную систему уравнений в этом нам поможет метод Жордана-Гаусса.

Преобразование Жордана с разрешающим элементом позволяет получить для системы уравнений разрешенную неизвестную в уравнении с номером . (пример 2).

Преобразование Жордана состоит из элементарных преобразований двух типов:
  1. Уравнение с разрешающим элементом делится на этот элемент (умножается на )
  2. Уравнение с разрешающим элементом умножается на подходящие множители и прибавляется ко всем другим уравнениям для того, чтобы исключить неизвестную .

Допустим мы хотим сделать неизвестную в нижнем уравнении разрешенной неизвестной. Для этого мы должны разделить на , так чтобы сумма .

Пример 2 Пересчитаем коэффициенты системы

При делении уравнения с номером на , его коэффициенты пересчитываются по формулам:

Чтобы исключить из уравнения с номером , нужно уравнение с номером умножить на и прибавить к этому уравнению.

Теорема (4) О сокращении числа уравнений системы.

Если система уравнений содержит тривиальное уравнение, то его можно исключить из системы, при этом получится система равносильная исходной.

Теорема (5) О несовместимости системы уравнений.

Если система уравнений содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.

Алгоритм метода Жордана-Гаусса

Алгоритм решения систем уравнений методом Жордана-Гаусса состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых производятся действия в следующем порядке:

  1. Проверяется, не является ли система несовместной. Если система содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.
  2. Проверяется возможность сокращения числа уравнений. Если в системе содержится тривиальное уравнение, его вычеркивают.
  3. Если система уравнений является разрешенной, то записывают общее решение системы и если необходимо — частные решения.
  4. Если система не является разрешенной, то в уравнении, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом.
  5. Далее заново переходят к пункту 1
Пример 3 Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса.

Найти: два общих и два соответствующих базисных решения

Решение:

Вычисления приведены в нижеследующей таблице:

Справа от таблицы изображены действия над уравнениями. Стрелками показано к какому уравнению прибавляется уравнение с разрешающим элементом, умноженное на подходящий множитель.

Метод жордана гаусса

В первых трех строках таблицы помещены коэффициенты при неизвестных и правые части исходной системы. Результаты первого преобразования Жордана с разрешающим элементом равным единице приведены в строках 4, 5, 6. Результаты второго преобразования Жордана с разрешающим элементом равным (-1) приведены в строках 7, 8, 9. Так как третье уравнение является тривиальным, то его можно не учитывать.

Равносильная система с разрешенными неизвестными и имеет вид:

Теперь можем записать Общее решение:

Приравниваем свободные переменные и нулю и получаем: .

Базисное решение:

Для того чтобы найти второе общее и соответствующее ему базисное решение, в полученной разрешенной системе в каком-либо уравнении необходимо выбрать какой-либо другой разрешающий элемент. (дело в том, что линейное уравнение может содержать несколько общих и базисных решений). Если разрешенная система уравнений, равносильная исходной системе содержит неизвестных и уравнений, то число общих и соответствующих базисных решений исходной системы равно числу сочетаний и . Количество сочетаний можно вычислить по формуле:

В нашем случае выбран разрешающий элемент (-1) в первом уравнении при (строка 7). Далее производим преобразование Жордана. Получаем новую разрешенную систему (строки 10,11) c новыми разрешенными неизвестными и :

Записываем второе общее решение:

И соответствующее ему базисное решение:

Ответы:

Общее решение:

Базисное решение:

Общее решение:

Базисное решение: