www.Grandars.ru » Высшая математика » Основы линейной алгебры »

Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов

Линейная зависимость векторов

Выражение видаλ1*A12*A2+...+λn*An называется линейной комбинацией векторов A1, A2,...,An с коэффициентами λ1, λ2,...,λn.

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A1, A2,...,An называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ1, λ2,...,λn, при котором линейная комбинация векторов λ1*A12*A2+...+λn*An равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ1, λ2,...,λn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ1, λ2,...,λn отлично от нуля.

Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A1, A2,...,An называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов λ1*A12*A2+...+λn*An равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ1, λ2,...,λn, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn имеет единственное нулевое решение.

Пример 29.1

Проверить, является ли линейно зависимой система векторов

Решение:

1. Составляем систему уравнений:

2. Решаем ее методом Гаусса. Преобразования Жордано системы приведены в таблице 29.1. При расчете правые части системы не записываются так как они равны нулю и при преобразованиях Жордана не изменяются.

3. Из последних трех строк таблицы записываем разрешенную систему, равносильную исходной системе:

4. Получаем общее решение системы:

5. Задав по своему усмотрению значение свободной переменной x3 =1, получаем частное ненулевое решение X=(-3,2,1).

Ответ: Таким образом, при ненулевом наборе чисел (-3,2,1) линейная комбинация векторов равняется нулевому вектору -3A1+2A2+1A3=Θ. Следовательно, система векторов линейно зависимая.

Свойства систем векторов

Свойство (1)
Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.

Свойство (2)
Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.

Свойство (3)
Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Свойство (4)
Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.

Свойство (5)
Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m)

Базис системы векторов

Базисом системы векторов A1 , A2 ,..., An называется такая подсистема B1, B2 ,...,Br (каждый из векторов B1,B2,...,Br является одним из векторов A1 , A2 ,..., An), которая удовлетворяет следующим условиям:
1. B1,B2,...,Br линейно независимая система векторов;
2. любой вектор Aj системы A1 , A2 ,..., An линейно выражается через векторы B1,B2,...,Br

r — число векторов входящих в базис.

Теорема 29.1 О единичном базисе системы векторов.

Если система m-мерных векторов содержит m различных единичных векторов E1 E2 ,..., Em , то они образуют базис системы.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того, чтобы найти базис системы векторов A1 ,A2 ,...,An необходимо:

  • Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A1x1+A2x2+...+Anxn
  • Привести эту систему