Формула Пуассона

Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний . При больших значениях пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона.

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность наступления события ровно раз приближенно равна

,(3.4)

где .

Доказательство. Пусть даны вероятность наступления события в одном испытании и число независимых испытаний . Обозначим . Откуда . Подставим это выражение в формулу Бернулли:

При достаточно большом !!n,, и сравнительно небольшом !!m,, все скобки, за исключением предпоследней, можно принять равными единице, т.е.

Учитывая то, что достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при , т.е. найти предел

Тогда получим

(3.5)

Пример. На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Найти вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три и ровно пять битых бутылок.

Решение. Дано: n = 100000, p = 0,0001, m = 3 (m = 5).

Находим .

Воспользуемся формулой Пуассона