www.Grandars.ru » Высшая математика » Математический анализ »

Числовые последовательности

Математический анализ

Числовые последовательности

Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров x1,x2,...xn
Числа x1,x2,...,xn — называются элементами последовательности, символ xnобщим элементом, а число n — его номером. Сокращенно последовательность обозначается символом {xn}.

Счетным множеством называется множество эквивалентное множеству натуральных чисел. Следовательно любая последовательность является счетным множеством.

Предел последовательности

Окрестностью точки x0 называется любой интервал, содержащий эту точку.

δ — окрестностью точки x0 Uδ (x0) называется интервал длиной 2δ с центром в этой точке.

Определение предела последовательности

Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε > 0 найдется номер n0 = n0(ε) ∈ N такой, что для всех номеров n > n0 выполняется неравенство |xn — a| <ε

Число b называется пределом последовательности {xn}=x1, x2,..., xn (lim {xn} = b; n→∞)

Последовательность {xn}, имеющая конечный предел а, называется сходящейся.
Последовательность, имеющая бесконечный предел или вообще не имеющая предела, называется расходящейся

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1.

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теормера 6 О сходимости подпоследовательности

Теорема 7 Об арифметических действиях над сходящимися последовательностями

Теорема 8 Критерий Коши сходимости последовательности

Для того чтобы последовательность {xn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы ∀ε >0 ∃номер n0 такой, что ∀n > n0 и любого p∈N выполнялось неравенство |xn+p - xn| <ε

Если предел последовательности равен нулю, то ее называют бесконечно малой

Свойства бесконечно малых последовательностей

Смежные предметы
Математический анализ
Производная функции
Числовые последовательности. Предел последовательности
Множество и операции над множествами