Мера и статистические закономерности

Принцип причинности и относительности — основа классической парадигмы

Математика учит нас, что любое многообразие становится метрическим (измеримым), если должным образом задать на нем меру. Выбор меры не столь прост и произволен, как может показаться на первый взгляд. Материальные системы и природные процессы, как правило, обладают индивидуальной внутренней мерой. Такая мера отражает их качественную определенность. Найти ее — большая удача для ученого. С использованием внутренней меры закономерности, свойственные данной системе, обретают наиболее простое и ясное выражение. Скажем, многие соотношения классического учения об электричестве существенно упрощаются, если в качестве единицы измерения выбрать скорость света в вакууме.

Ну а если внутреннюю меру не удалось найти? В этом случае меру выбирают произвольно. Такая произвольная мера не выражает внутренней организации системы, и результаты ее описания в значительной степени оказываются случайными. Для обработки и интерпретации этих результатов приходится использовать методы специальной научной дисциплины — математической статистики. Математическая статистика предназначена для работы с любыми мерами. Более того, она снабжает исследователя критериями для оценки того, насколько выбранная мера близка к внутренней. Однако платить за это приходится громоздкими выкладками и сложностью основных формул.

До настоящего времени выбор надлежащей меры для описания изучаемого явления во многом определяется искусством ученого. Если урожайность пшеницы на опытном участке оценивать пудами или центнерами, вы сможете получить отчетливые закономерности, описывающие, например, связь урожайности и количество удобрений, внесенных в почву. А попробуйте вести расчеты, используя число убранных зерен. Если хватит квалификации, то вы, возможно, достигнете того же результата, но уже благодаря внушительному количеству статистических выкладок.

Вывод: прежде чем применять статистику, попробуйте в интересующей вас проблеме найти внутреннюю меру. Используйте ее, и применение статистических методов может оказаться ненужным.

Удачно выбранная мера значительно упрощает процесс построения научной теории. Тем не менее она не избавит вас от необходимости формулировать эту теорию. Сейчас мы рассмотрим основные подходы к построению теории, принятые классической научной парадигмой. Сделаем это на примере классической механики Ньютона, на протяжении сотен лет служившей образцом для многих поколений ученых. Как известно, оптимальное поведение на рынке капиталовложений требует помимо экономических знаний еще и понимания тенденций развития современной техники. Для того чтобы прогнозировать развитие науки и техники, необходимо проследить эволюцию и развитие научных идей, в том числе и ставших классическими.

Основные цели классического описания движения

Как мы уже говорили, ядро классической парадигмы составляет механика Ньютона. Классическая механика решает задачу определения закона движения.

Понятие закона движения существенно опирается на понятия системы отсчета и материальной точки - тела, формой и размерами которого можно пренебречь применительно к данным условиям.

К примеру, решая вопрос о переезде из Москвы в Наро-Фоминск автомобиль вполне можно считать материальной точкой. А вот если рассмотреть задачу об опрокидывании того же автомобиля в кювет, то считать его материальной точкой никак нельзя.

Системой отсчета называется координатная система, связанная с твердым телом и снабженная прибором для определения времени (часами).

Законом движения материальной точки принято считать зависимость ее координат, отсчитываемых относительно некоторой системы отсчета, от времени. Законом движения материального тела считают закон движения материальных точек, его составляющих.

Когда в школе вы изучали математику, вероятно, самые значительные трудности вы испытывали, решая задачи по геометрии. Это потому, что для решения каждой задачи по элементарной геометрии вы должны были придумать свой уникальный способ решения. Положение изменилось только с созданием аналитической геометрии, давшей отнюдь не простые, но типовые методы решения геометрических задач. Похожая ситуация наблюдалась и в классической механике.

Механика еще со времен Архимеда усиленно занималась определением закона движения тела, находящегося в различных условиях. Еще и сейчас вы можете найти в библиотеке огромные тома, посвященные рассмотрению движения материальной точки по цепной линии, циклоиде и другим не менее замысловатым кривым. Такое рассмотрение велось с применением методов элементарной геометрии. Для решения каждой отдельной задачи по механике требовалось создать уникальный, как правило, геометрический, метод. В то же время практика требовала упрощения расчетов в области механики и их унификации. Решение именно этой задачи в конечном итоге послужило толчком к созданию классической науки.

Закон инерции — основа классической механики

Основная идея Ньютона состояла в том, чтобы измерять не координаты и время, а движение. Множество всех механических движений является непрерывным. Поэтому Ньютону пришлось ввести меру движения. В качестве таковой он предложил использовать величину, названную им — количеством движения.

Количество движения - это произведение массы m движущегося тела на его скорость v . В современной физике эту величину называют импульсом p движущегося тела

p = mv.

Выбора меры недостаточно. Для измерения на непрерывном множестве требуется еще и эталон, своеобразная “линейка”. Во времена Ньютона движения подразделяли на естественные, присущие материи изначально, и насильственные, т. е. вызванные взаимодействием с другими телами. Ньютон предложил использовать в качестве эталона естественное движение как предположительно более простое. Более того, он предположил, что естественное движение между двумя точками происходит по кратчайшему расстоянию, т. е. согласно представлениям геометрии Евклида, по отрезку прямой линии.

Важнейшими свойствами материальной системы являются движение и развитие. Движением принято считать изменение взаимного расположения отдельных частей системы или различных материальных систем. Под развитием подразумеваются направленные качественные изменения внутри данной системы.

Понимание феноменов движения и развития требует ясного понимания основополагающих категорий современных естественных наук — категорий пространства и времени. Пространство согласно Лейбницу — это порядок материальных тел, предметов. Время - порядок событий, происходящих в пространстве. Пространство и время, таким образом, являются простыми атрибутами материи. Пространство не может быть пустым, так как отсутствие материи означает и отсутствие пространства.

Следует заметить, что философски-безукоризненное определение пространства и времени по Лейбницу дает очень ограниченные возможности для их описания. Такое пространство лишено, вообще говоря, основных свойств симметрии — однородности и изотропности. Мы считаем какой-либо объект однородным в данном направлении, если его свойства при перемещении в данном направлении не меняются. Объект считается изотропным, если его свойства не зависят от направления.

Посмотрите вокруг себя. В одном направлении можно увидеть окно, а в другом стенку, над вами находится потолок и вы, увы, не можете к нему взлететь. Наше пространство совсем не изотропно. А вот стол, за которым вы читаете эти строки. Он позволит вам продвигаться вперед только до определенной границы. Значит, пространство в вашей комнате и неоднородно.

Вы со школьной скамьи усвоили, что пространственные соотношения описываются геометрией. В качестве математического аппарата Ньютон мог использовать только геометрию Евклида. Другой в то время человечество еще не знало. Поэтому ему было необходимо, чтобы пространство было однородным и изотропным. Ньютон вышел из создавшегося положения, введя в рассмотрение пустое, абсолютное пространство — вместилище всех вещей и носитель чистой протяженности.

Следует заметить, что время, которым мы пользуемся в обиходе, отнюдь не совпадает со временем по Ньютону. Для определения времени человечество использует движение светил по небесному своду. В случае если время определяется по движению звезд, говорят о звездном времени, если же по движению Солнца, то солнечном. Переменную t, используемую в уравнениях динамики и представляющую собой время по Ньютону, называют эфемеридным временем. В быту она не применяется.

Представить себе абсолютно уединенное, ни с чем не взаимодействующее тело возможно применительно к такому абсолютному пространству. Уединенное тело должно предположительно совершать “естественное” движение, движение “по инерции”.

Ньютону необходимо было решить вопрос о том, какой вид имеет естественное движение. Мы привыкли представлять естественное движение прямолинейным. Но его прямолинейность отнюдь не очевидна. Во времена Ньютона церковью, в первую очередь католической, была канонизирована метафизика Аристотеля. Аристотелевская парадигма выработала представление о том, что естественным является движение по наиболее “совершенной” и симметричной кривой — по окружности. Круговые орбиты планет, предоставленных самим себе, казались лучшим тому подтверждением.

Ньютон тем не менее утверждал, что естественное движение прямолинейно. Такое революционное представление было не случайным. Дело в том, что в рамках существующей в его дни парадигмы Ньютон имел только геометрию Евклида — геометрию прямых плоскостей и точек. Имеющийся в наличии математический аппарат вынудил Ньютона принять единственно возможное решение — считать естественным движение по прямой. Более того, Ньютон предположил, что это движение равномерное и тем самым задал часы. Теперь стало возможно определять время, измеряя прохождение невзаимодействующим телом равных расстояний. Представление о равномерном и прямолинейном движении невзаимодействующего тела как эталонном, составило содержание первого закона классической механики — закона инерции.

На сегодняшний день геометрия Евклида уже не единственная. Благодаря этому первый закон Ньютона подвергли подробному анализу. В основном этим занимались математики. Примером может служить так называемая Эрлангенская программа Феликса Клейна. Согласно этой программе “естественным”, эталонным можно считать любое движение. Но при этом каждому эталонному движению будет соответствовать своя геометрия, не совпадающая, вообще говоря, с геометрией Евклида. В частности, была создана и механика, в которой эталонным является движение по окружности. Ей соответствует геометрия Шварцшильда. Для геометрии Шварцшильда кратчайшим расстоянием между двумя точками является дуга окружности, сумма внутренних углов треугольника больше двух прямых и т. д. Подобного рода построения оказались крайне плодотворными при построении современной теории тяготения.

Принцип относительности и классическая физика

Одним из проявлений последней революции в физике принято считать создание Лоренцем, Пуанкаре, а затем и Эйнштейном так называемой специальной теории относительности. Следует заметить, что, несмотря на некоторую необычность своих выводов, эта теория полностью лежит в рамках классической парадигмы.

Узловым моментом специальной теории относительности является представление о том, что все тела, в том числе и движущиеся, состоят из заряженных частиц. Таким образом, движение материального тела связано с переносом электрического заряда. При выборе эталонного движения Ньютоном этот факт не учитывался.

Учет одновременного движения массы и электрического заряда привел к необходимости выбора эталонного движения, совмещавшего свойства механического движения и движения электричества. В качестве такового было принято движение световой частицы — фотона.

Скажите, пожалуйста, если, перемеряя при помощи поверенной линейки кусок ткани, вы обнаружите, что его длина уменьшилась, решите ли вы, что линейка стала короче или что вас просто обмерили в магазине? Конечно же, вы заподозрите продавцов. И справедливо. Величина эталона не подлежит ревизии. Уже из этого становится понятным первый постулат специальной теории относительности — постоянство скорости света. Меняться может все что угодно, кроме эталона. Скорость света не зависит от того, в какой системе отсчета мы ее измеряем.

Эйнштейн обобщил этот вполне понятный постулат, выдвинув принцип относительности, согласно которому никоим образом невозможно определить, находимся ли мы в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения. Иногда принцип относительности заменяют схожим с ним принципом инвариантности законов природы. В соответствии с этим принципом вид математических уравнений, выражающих законы природы, не зависит от того, покоится ли материальная система, ими описываемая, или же она движется равномерно и прямолинейно.

Выбор в качестве эталона уникального по своей сути движения светового кванта привел к установлению в пространстве движений выделенного образа. Попробуйте представить себе пространство, в котором одна из прямых отличается от всех остальных. Оно непохоже на пространство Евклида, к которому вы привыкли и свойства которого изучали в средней школе. Наличие выделенного движения привело к тому, что геометрия мира, в котором выполняется теория относительности, должна отличаться от Евклидовой. Эта геометрия была создана польским математиком Германом Минковским. На сегодняшний день она заслуженно считается математическим основанием специальной теории относительности.

В механике Ньютона все равномерные и прямолинейные движения равноправны. Они создают непрерывное многообразие различных часов, которые благодаря этому всегда можно согласовать друг с другом. В механике теории относительности существует выделенное движение, которое определяет в каждой системе отсчета свои уникальные часы, никак не связанные с другими. Из-за этого время в различных системах отсчета течет по-разному.

Вы можете сказать, что опыт уже показал полную пригодность геометрии Евклида применительно к нуждам нашего мира. И это действительно так. Однако оказывается, что влияние электрических свойств движущихся тел на характеристики механического движения начинает проявляться только при больших (близких к скорости света) скоростях движения. При движении с подобными скоростями длины отрезков должны испытывать так называемое Фитцджеральдово сокращение. Его величина выражается формулой

где l — длина отрезка, двигающегося со скоростью v, l0 — длина того же отрезка в неподвижном состоянии, с — скорость света в вакууме.

Из этой формулы хорошо видно, что при движении отрезка со скоростью много меньшей скорости света изменение его длины исчезающе мало и экспериментально не обнаруживается. Оно начинает сказываться только при скоростях движения, сравнимых со скоростью света. Аналогично изменяются и промежутки времени. Этот эффект был обнаружен экспериментально по изменению среднего времени жизни некоторых элементарных частиц, обнаруживаемых в космических лучах.

Существенным здесь является то, что при обычных условиях (движениях со скоростями много меньшими скорости света) соотношения специальной теории относительности дают результаты, совпадающие с результатами классической механики. Требование такого соответствия составляет основу принципа соответствия. Согласно этому принципу новая теория должна дополнять старую, совпадая с ней в пределах области применимости старой теории.

Изменение длин движущихся тел только на первый взгляд кажется столь парадоксальным. В действительности размер тела определяется в первую очередь равновесием электрических и магнитных сил, с которыми взаимодействуют заряженные частицы, составляющие эти тела. Движение приводит к изменению характеристик этих сил и к смещению состояния равновесия. В результате этого и уменьшается длина движущегося тела.

Представьте себе самолет, летящий с большой скоростью. Воздух при движении самолета увлекается им, образуя своеобразную «шапку». Очевидно, что двигатель самолета вынужден перемещать не только самолет, но и присоединенную к нему массу воздуха. Причем присоединенная масса возрастает с возрастанием скорости летательного аппарата. Еще ярче этот эффект проявляется при движении судов, так как плотность воды существенно больше плотности воздуха.

При движении заряженной частицы она увлекает за собой свое электромагнитное поле подобно тому, как самолет увлекает окружающий его воздух. Важнейшим выводом, к которому пришла теория относительности, явилось заключение о том, что электромагнитное поле также обладает свойством инерции, подобным инерционным свойствам вещества. Эта инерция проявляет себя как дополнительная, так называемая электромагнитная масса. Она зависит от скорости движения и реально проявляется только при скоростях движения, сравнимых со скоростью света. Зависимость массы движущегося тела от скорости его движения позволила выразить энергию движущегося тела через его полную (обычную и электромагнитную) массу при помощи знаменитой формулы Эйнштейна

E = mc2

Из изложенного видно, что механика специальной теории относительности отличается от Ньютоновской только выбором эталонного движения. Таким образом, она практически всецело находится в рамках классической парадигмы. Ее отличает только некоторое своеобразие выводов, связанное с применением непривычной для нас геометрии.

Дальнейшее развитие идеи геометрического описания движения нашли в общей теории относительности, или, более правильно, теории тяготения. Общая теория относительности устанавливает связь между распределением вещества во Вселенной и геометрическими свойствами пространства, проявляющими себя как тяготение.

Чтобы понять идеи, лежащие в основании общей теории относительности, представьте себе колесо, напоминающее велосипедное. Если это колесо вращается столь быстро, что линейная скорость частиц обода оказывается близкой к скорости света, — обод будет испытывать ощутимое Фитцджеральдово сокращение. В то же время спицы, не двигающиеся в направлении радиуса колеса, свою длину не изменят. Таким образом, мы оказываемся в парадоксальной ситуации, когда длина окружности оказывается меньше 2p R. Ясно, что в пределах геометрии Евклида это невозможно. Следовательно, ускорение, возникающее при вращательном движении, изменяет геометрические соотношения в окружающем пространстве, что мы и воспринимаем как силу.


Смежные предметы